Dilahir di New York kepada keluarga Yahudi, Feynman dipengaruhi oleh bapanya yang sering menggalakkannya untuk menyoal supaya mencabar fikiran ortodoks. Sebagai kanak-kanak, beliau gemar membaiki radio dan ketika berumur 15 tahun, telah menguasai kalkulus kamiran serta kalkulus pembezaan.

Pada tahun terakhirnya dalam Sekolah Menengah Far Rockaway, Feynman memenangi Kejuaraan Matematik Universiti New York. Beliau menerima ijazah Sarjana Mudanya daripada Institut Teknologi Massachussetts pada tahun 1939. Semasa di situ, beliau mengambil setiap kursus fizik yang ditawarkan, dan mula belajar fizik tahap graduan pada tahun kedua kursusnya. Beliau memohon untuk mengejarkan kursus kedoktorannya di Universiti Princeton, dan mendapat markah yang sempurna dalam peperiksaan kemasukan bagi fizik dan matematik. Albert Einstein, Wolfgang Pauli dan John von Neumann antara ahli sains yang menghadiri seminar pertamanya. Feynman menerima ijazah kedoktoran (PhD) daripada Princeton pada tahun 1942; tesisnya menggunakan prinsip tindakan pegun pada masalah mekanik kuantum, dan membuka jalan untuk pendekatan "kamiran lintasan" dan gambar rajah Feynman.

Semasa di Princeton, Feynman mengahwini isteri pertamanya, Arline (kadang kala dieja Arlene) Greenbaum. Walaupun Arline menghidap tuberkulosis, mereka berhati-hati supaya Feynman tidak dijangkiti.